Lernziele

• Wiederholung Stichprobenziehung und
• Einführung in Bootstrapping

Stichprobenziehung

• Grundgesamtheit häufig schwierig komplett zu beobachten
• daher: Stichproben
• Beispiel: Zensus, Wahlbefragung, …
• hier: Zufallsstichproben

Beispiel mit R

• Setting: Europawahl 2024
• Wähler mit Attributen und Wahlpräferenzen
• große Grundgesamtheit, daher samplen
• Parameter der Grundgesamtheit: z.B. der wahre Anteil von Studierenden unter den Wählern
• Schätzer für Parameter der Grundgesamtheit: Anteil der Studierenden, berechnet aus der zufälligen Stichprobe
  • da Stichprobe zufällig ist, repräsentativ für Grundgesamtheit und Schätzer unverzerrt

zufällige Stichprobe

• \(n\) Beobachtungen aus der Grundgesamtheit zufällig auswählen
• Beobachtungen sollten nicht mehrfach vorkommen
• Stichprobengröße beeinflusst Standardfehler
  • je größer desto repräsentativer!

Sampling-Methoden im Überblick

• Einfache Zufallsstichprobe (Simple Random Sampling) mit/ohne Zurücklegen
• Geschichtete Stichprobe (Stratified Sampling): Reduziert Varianz in Teilgruppen
• Klumpenstichprobe (Cluster Sampling): Ganze Cluster (z.B. Gemeinden) auswählen
• Systematische Stichprobe: Auswahl jedes k-ten Elements aus geordneter Liste
• Varianzen der Schätzer hängen vom Stichprobendesign ab

Wiederholung: Jackknife-Resampling

• Leave-One-Out-Ansatz: Für \(i = 1, \dots, n\) entferne Datenpunkt \(i\) aus der Stichprobe.
• Schätzer in jeder Teilstichprobe: \(\hat\theta_{(i)}\).
• Jackknife-Bias: \[ \mathrm{Bias}_{\mathrm{jack}} = (n-1)\bigl(\bar\theta_{(\cdot)} - \hat\theta\bigr), \quad \bar\theta_{(\cdot)} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \hat\theta_{(i)} \]
• Jackknife-Varianz: \[ \mathrm{Var}_{\mathrm{jack}} = \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n \bigl(\hat\theta_{(i)} - \bar\theta_{(\cdot)}\bigr)^2. \]
• Vorteil: Einfache Bias-Korrektur; Nachteil: konservativ für kleine \(n\).

#| code-fold: false
jack_means <- sapply(seq_along(wähler$alter),
                     function(i) mean(wähler$alter[-i]))
hist(jack_means, breaks = 30,
     main = "Jackknife-Verteilung des Mittelwerts",
     xlab = "Mittelwert (Alter)")

Einführung in Bootstrapping

• Statistiken aus Stichproben sind Zufallsvariablen
  • Stichprobenverteilung mit Mittelwert und Standardfehler
• Beispiel: Anteil der Studierenden in Stichprobe
  • Schätzer für den wahren Anteil der Studierenden bei allen Wählern

Einführung in Bootstrapping

• Problem: In Realität schwierig sehr viele Stichproben zu ziehen
• Lösung: Mit einer einzigen Stichprobe arbeiten!

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

“To pull oneself up by one’s bootstraps” — sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf ziehen

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping