Lernziele

• Wiederholung Stichprobenziehung und
• Einführung in Bootstrapping

Stichprobenziehung

• Grundgesamtheit häufig schwierig komplett zu beobachten
• daher: Stichproben
• Beispiel: Zensus, Wahlbefragung, …
• hier: Zufallsstichproben

Beispiel mit R

• Setting: Europawahl 2024
• Wähler mit Attributen und Wahlpräferenzen
• große Grundgesamtheit, daher samplen
• Parameter der Grundgesamtheit: z.B. der wahre Anteil von Studierenden unter den Wählern
• Schätzer für Parameter der Grundgesamtheit: Anteil der Studierenden, berechnet aus der zufälligen Stichprobe
  • da Stichprobe zufällig ist, repräsentativ für Grundgesamtheit und Schätzer unverzerrt

zufällige Stichprobe

• \(n\) Beobachtungen aus der Grundgesamtheit zufällig auswählen
• Beobachtungen sollten nicht mehrfach vorkommen
• Stichprobengröße beeinflusst Standardfehler
  • je größer desto repräsentativer!

Einführung in Bootstrapping

• Statistiken aus Stichproben sind Zufallsvariablen
  • Stichprobenverteilung mit Mittelwert und Standardfehler
• Beispiel: Anteil der Studierenden in Stichprobe
  • Schätzer für den wahren Anteil der Studierenden bei allen Wählern

Einführung in Bootstrapping

• Problem: In Realität schwierig sehr viele Stichproben zu ziehen
• Lösung: Mit einer einzigen Stichprobe arbeiten!

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

“To pull oneself up by one’s bootstraps” — sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf ziehen

Einführung in Bootstrapping

Einführung in Bootstrapping

Ursprung des Bootstrap

• Bradley Efron: “Bootstrap methods: another look at the jackknife” (1979)
• baut auf dem “jackknife” auf
• Bayesianische Erweiterung: Samplen mit Gewichten zwischen 0 und 1
• andere vorgeschlagene Namen für den “bootstrap”: Swiss Army Knife, Meat Axe, Shotgun, …

Vorteil gegenüber traditionallen Methoden

• Häufig Annahmen über Verteilung oder Momente (Mittelwert, Varianz, …)
• Beispiel: Eine Regression mit normalverteilter Zielvariable
• Annahme bei Bootstrap: empirische Verteilungsfunktion kann tatsächliche Verteilungsfunktion hinreichend gut approximieren
  • Stichprobe nicht zu klein
  • Stichprobe repräsentativ

Unsicherheit des Schätzers

• Parameter der Grundgesamtheit aus nur einer Stichprobe schätzen
  • z.B. Anteil der Studierenden unter Wählern
• jede Stichprobe zufällig und Schätzer somit eine Zufallsvariable
  • wie gut ist der Schätzer?
• wenn man theoretische Verteilung kennt, mittels Standardfehler Konfidenzintervall berechnen

\[ \widehat{\mu} \pm 1.96 \cdot SE \]

Normalerweise

Quelle: Hesterberg (2015)

• mehrere echte Stichproben aus einer Grundgesamtheit
• Stichprobenverteilung und Schätzer für Parameter der Grundgesamtheit
• 95% Konfidenzintervalle aus \(\widehat{\mu} \pm 1.96 \cdot SE\)

Bootstrap

Quelle: Hesterberg (2015)

• Idee: Stichprobe eine (repräsentative) Miniatur der Grundgesamtheit
• Bootstrap-Stichproben durch ziehen von neuen Stichprobe mit Zurücklegen
• 95% Konfidenzintervall aus 2.5% und das 97.5% Quantil der Bootstrap-Stichproben

Zurück zur Anwedung

• eine Stichprobe ziehen und mit dieser arbeiten

bootstrap_umfrage <- rep_sample_n(wähler,
                                  size = stichprobe_n,
                                  replace = TRUE, # wichtig!
                                  reps = anzahl_umfrage)